Steinitz classes and realizable Galois module classes of nonabelian extensions
Classes de Steinitz et classes galoisiennes réalisables d'extensions non abéliennes
Résumé
Let k be a number field, Cl(k) its class group and Ok its ring of integers. Let Rm(k;Γ) be the subset of Cl(k) consisting of those classes which are realizable as Steinitz classes of tame Galois extensions of k with Galois group isomorphic to Γ. LetMbe a maximal Ok-order in the semi-simple algebra k[Γ ] containing Ok[Γ], and Cl(M) its locally free classgroup. We define the set R(M) of realizable Galois module classes to be the set of classes c 2 Cl(M) such that there exists a Galois extension N=k which is tame, with Galois group isomorphic to Γ, and for which [MOk[ô] ON] = c, where ON is the ring of integers of N. When Γ is a nonabelian group of order 16 or an extra-special group of order 32, we show that Rm(k; Γ) is the full group Cl(k) if the class number of k is odd, with the hypothesis i 2 k for the modular group of order 16. When Γ = C oH, where C (resp. H) is a cyclic group of order l (resp. m), l is prime and H acting faithfully on C, we define a subset of R(M) and prove, by means of a description using a Stickelberger ideal, that it is a subgroup of Cl(M), under the hypothesis that k and the l-th cyclotomic field over Q are linearly disjoint.
Soient k un corps de nombres, Cl(k) son groupe des classes et Ok son anneau d'entiers. Soit Rm(k;Γ) e sous-ensemble de Cl(k) formé par les éléments qui sont réalisables par les classes de Steinitz d'extensions galoisiennes de k, modérées et dont le groupe de Galois est isomorphe à ô. Soient M un Ok-ordre maximal dans l'algèbre semi-simple k[Γ] contenant Ok[Γ], et Cl(M) le groupe des classes des M-modules localement libres. On définit l'ensemble R(M) des classes galoisiennes réalisables comme étant l'ensemble des classes c 2 Cl(M) telles qu'il existe une extension N/k modérée, à groupe de Galois isomorphe à ô, avec la classe deMOk[Γ] ON est égale à c, où ON est l'anneau des entiers de N. Lorsque Γ est un groupe non abélien d'ordre 16, ou un groupe extraspécial d'ordre 32, on montre que Rm(k; Γ) = Cl(k) si le nombre des classes de k est impair, avec l'hypothèse i 2 k pour le groupe modulaire d'ordre 16. Lorsque Γ = C x H, où C (resp. H) est un groupe cyclique d'ordre l (resp. m), avec l premier et H opérant fidèlement sur C, on définit un sous-ensemble de R(M) et on montre, grâce à une description utilisant un idéal de Stickelberger, qu'il est un sous-groupe de Cl(M), sous l'hypothèse que k est linéairement disjoint du l-ième corps cyclotomique sur Q.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)