CR submanifolds of the six-sphere
Les sous-variétés de type CR de la sphère de dimension 6
CR podmnogostrukosti šestodimenzione fere
Résumé
Let M be a Riemannian submanifold of the six dimensional sphere equipped with its almost complex structure J. It is natural to investigate submanifolds M according to their relations to J. If the tangent bundle of M is invariant for J, then M is an almost complex submanifold, and if J maps the tangent bundle into the corresponding normal bundle M is a totally real submanifold. A natural generalization of almost complex and totally real submanifolds are CR submanifolds. They admit an almost complex distribution H such that its orthogonal complement is totally real. A CR submanifold is called proper if its neither totally real nor almost complex. A. Gray showed that there are no 4-dimensional almost complex submanifolds of the 6-sphere, so the dimension of the almost complex distribution, in the nontrivial case has to be 2, and therefore the dimension of the corresponding totally real distribution is less or equal 2. B. Y. Chen introduced a basic Riemannian invariant and proved an inequality realting this invariant with the length of the mean curvature vector. It is interesting to investigate when the submanifold attains equality in this inequality. In that case we say that M satisfies Chen's basic equality. In this thesis we investigate 3 and 4-dimensional minimal submanifolds. In the 4-dimensional case we classify such submanifolds that satisfy Chen's basic equality, and in both dimensions we investigate submanifolds that are contained in a totally geodesic 5-sphere. We also investigate the minimal immersions of a surface into the (2n+1)-dimensional sphere whose first (n-2) ellipses of curvature are circles. We construct a sequence of minimal immersions that satisfy the same conditions and characterize immersions whose sequences contain two immersions congruent over an orientation reversing isometry.
Soit M une sous-variété Riemannienne d'une variété presque complexe, où nous notons la structure presque complexe par J. Alors il est naturel de regarder les propriétés des sous-variétés par rapport à cette structure J. Si l'espace tangent reste invariant par J, nous dirons que la sous-variété est presque complexe. Par contre si J envoie l'espace tangent dans l'espace normal,nous dirons qu'elle est totalement réelle. Une généralisation naturelle sont les sous-variétés de type CR. M est de type CR si elle admet une distribution presque complexe et que le complément orthogonal est totalement réelle. M, de type CR, est dite propre si M n'est pas presque complexe ni totalement réelle. Dans notre thèse nous regardons des sous variétés de type CR dans la sphère de dimension 6. Nous supposons aussi que M est de dimension 3 ou 4 est M est minimale. Dans les deux cas, nous obtenons une classification des sous-variétés qui sont contenues dans une hypersphère de dimension 5. Dans le deuxième cas, nous obtenons aussi une classification des sous-variétés idéales. Ce sont les sous variétés qui réalisent l'égalité dans l'inégalite de Chen. Dans une deuxième partie de la thèse nous étudions aussi des surfaces minimales dans une sphère de dimension 2n+1. Si la surface est 2n-1 orthogonal nous montrons que avec une telle surface nous pouvons associer toute une séquence d'immersion minimales et nous investiguons les propriétés de la séquence.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)