Richardson varieties: multiplicities and desingularization
Variétés de Richardson : multiplicités et désingularisation
Résumé
A Richardson variety is the intersection of a direct Schubert variety with an
opposite Schubert variety inside a fiag variety. ln this thesis, we are interested in
the singularities of Richardson varieties. A result of Kreiman and Lakshmibai gives
the multiplicity at a T-fixed point on a Richardson variety. In chapter 1, we prove
that in characteristic zero, their formula is true for an arbitrary point, provided the
fiag variety is cominuscule.
Next, we consider a desingularization of a Richardson variety in the full fiag
variety of type An, obtained as a subvariety of a Bott-Samelson variety. There is a
natural family of line bundles on Bott-Samelson varieties, and their spaces of sections
have been studied by Lakshmibai and Magyar, who give a basis of these spaces
indexed by combinatorial objects called standard tableaux. We prove in chapter II
that this basis is compatible with the desingularization of the Richardson variety
when the line bundle is very ample. In this way, we obtain a basis indexed by
particular tableaux, the so-called w0-standard ones.
Une variété de Richardson est l'intersection d'une variété de Schubert directe
avec une variété de Schubert opposée dans une variété de drapeaux. Dans cette
thèse, on s'intéresse aux singularités des variétés de Richardson. Un résultat de
Kreiman et Lakshmibai donne la multiplicité d'un point T-fixe sur une variété de
Richardson. Dans le chapitre 1, on prouve qu'en caractéristique nulle, leur formule
est valable en un point quelconque, pourvu que la variété de drapeaux soit cominuscule.
On considère ensuite une désingularisation d'une variété de Richardson de la
variété des drapeaux complets de type An, obtenue comme sous-variété d'une variété
de Bott-Samelson. On dispose d'une famille naturelle de fibrés en droite sur les
variétés de Bott-Samelson, et leurs espaces de sections ont été étudiés par Lakshmibai
et Magyar, qui en donnent une base indexée par des objets combinatoires,
appelés tableaux standard. On prouve dans le chapitre II que cette base est compatible
avec la désingularisation de la variété de Richardson lorsque le fibré en droites
est très ample. On obtient de cette façon une base indexée par des tableaux particuliers,
appelés wo-standard.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)