Great regularities rational (BR) curves : the circle case
Courbes rationnelles (BR) à grandes régularités : cas du cercle
Résumé
Many shapes and objects in CAD mathematics are defined from the circle using elementary geometric transformations or deformations. Hence the interest of proposing a parametrization of the circle as a curve (BR), image of 0.1, well adapted to CAD. In chapters 2 and 3, we determine several control mass polygons respectively with 5, 7, 9, 11 mass vectors, allowing to obtain the closure Ck (k = 1 to 5) of the complete circle. In each case, we give necessary and sufficient conditions to obtain only strictly positive mass vectors. More important is to provide as uniform a parameterization of the full circle as possible. The previously mentioned representations have two degrees of freedom which we take advantage of in Chapter 4 to obtain a quasi-uniform representation of the circle: the images of the i/n values of 0.1 are as evenly spaced as possible on the circle. We propose solutions with 5 and 7 mass vectors corresponding to a closed circle C1 and C3. The quality of these representations, highlighted by the error estimation, is confirmed by figures. In Chapter 5, we addressed another problem frequently encountered in CAD geometry: for a given rational curve, can we obtain by successive length elevations, a control polygon whose mass vectors are all positive mass? For some types of mass polygons we answer by some necessary or sufficient conditions, and by an evaluation of the number of necessary iterations.
Beaucoup de formes et d'objets en mathématiques de la CAO sont définis à partir du cercle à l'aide de transformations géométriques élémentaires ou de déformations. D'où l'intérêt de proposer une paramétrisation du cercle comme courbe (BR), image de 0,1, bien adaptée a la CAO. Dans les chapitres 2 et 3, nous déterminons plusieurs polygones massiques de contrôle respectivement à 5, 7, 9, 11 vecteurs massiques, permettant d'obtenir la fermeture Ck (k = 1 à 5) du cercle complet. Dans chaque cas, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour n'obtenir que des vecteurs massiques à masse strictement positive. Plus important est de fournir une paramétrisation du cercle entier aussi uniforme que possible. Les représentations précédemment citées comportent deux degrés de liberté que nous mettons à profit dans le chapitre 4 pour obtenir une représentation quasi-uniforme du cercle : les images des valeurs i/n de 0,1 sont aussi régulièrement espacées que possible sur le cercle. Nous proposons des solutions à 5 et 7 vecteurs massiques correspondant à un cercle ferme C1 et C3. La qualité de ces représentations, mise en évidence par l'estimation de l'erreur, est confirmée par des figures. Au chapitre 5, nous nous sommes intéressés à un autre problème fréquemment abordé en géométrie de la CAO : pour une courbe rationnelle donnée, peut-on obtenir par élévations successives de la longueur, un polygone de contrôle dont tous les vecteurs massiques sont à masses positives ? Pour certains types de polygones massiques nous répondons par quelques conditions nécessaires ou suffisantes, et par une évaluation du nombres d'itérations nécessaires.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)